Definición: Valor absoluto
El valor absoluto de un número real \(a\) está definido como la distancia entre dicho número y el punto origen de la recta real.
Entre otras cosas, es por esto que el valor absoluto de un número \(a\in\mathbb{R}\) nunca va a ir acompañado del signo negativo, pues no se puede pensar en distancias "negativas". Algo similar sucede con el famoso teorema de pitágoras, se sabe que si un triángulo es rectángulo en cualquiera de sus ángulos, entonces siempre se va a cumplir que \(a^2+b^2=c^2\), en donde \(a\) y \(b\) son catetos y \(c\) es el lado opuesto al ángulo recto (hipotenusa). ¿Cómo puede pensarse en la hipotenusa de un triángulo de catetos \(a=1\) y \(b=-1\)?, es evidente que geométricamente no existe una medida negativa para una figura plana, las coordenadas \((0,0)\) representan un único punto llamado origen en el espacio bidimensional y no hay nada más "pequeño" que eso, análogamente las coordenadas \((0,0,0)\) representan un punto en el espacio de tres dimensiones, y sería absurdo pensar en hallar el volumen de una esfera con \(r\lt{0}\). (No obstante, un triángulo como el mencionado antes podría tomar coordenadas negativas en el plano \(XY\), con lo cual sí se podría pensar en su hipotenusa).
Intervalos en valor absoluto
De acuerdo a la definición anteriormente dada es posible establecer dos grandes propiedades del valor absoluto respecto a las desigualdades.
- \(\mbox{ Si } |x|\lt{a}\longrightarrow{}-a\lt{x}\lt{a}\)
- \(\mbox{ Si } |x|\gt{a}\longrightarrow{}-x\gt{a}\vee{}x\gt{a}\)
Gracias a estas dos propiedades es posible desarrollar un número significativo de inecuaciones de la forma \(|f(x)|\lt{}g(x)\) o \(|f(x)|\gt{}g(x)\) siendo \(f(x)\) y \(g(x)\) funciones racionales.
Relación con la definición épsilon-delta de límite
Un caso especial de estas desigualdades son las desarrolladas en la definición general de límite \(\epsilon{}-\delta\), recordemos que la definición formal de límite establece que para cada \(\epsilon\) positivo, existe \(\delta\) positivo tal que \(|f(x)-L|\lt{}\epsilon\) cuando \(0\lt{}|x-a|\lt{}\delta\), para todo \(x\in{}Dom_f\).
Agreguemos una propiedad más a las dadas anteriormente
- \(\mbox{ Si } a\lt{b}\lt{c}\longrightarrow{}a\lt{b}\wedge{}b\lt{c}\)
Con base en las propiedades 1, 2 y 3 es muy fácil darnos cuenta que la dos desigualdades en la definición de límite representan entornos reales en la recta real; tomando \(0\lt{}|x-a|\lt{}\delta\) obtenemos
\(0\lt{}|x-a| \ \wedge{} \ |x-a|\lt{\delta}\longrightarrow\)
\(|x-a|\gt{0} \ \wedge{} \ -\delta\lt{x-a}\lt{\delta}\)
Para \(|x-a|\gt{0}\) obtenemos \(x\gt{a}\) y \(x\lt{a}\), lo cual está representado por la unión de intervalos \((-\infty,a)\cup{}(a,+\infty)\). Sea \(I_1\) este intervalo.
\(|x-a|\gt{0} \ \wedge{} \ -\delta\lt{x-a}\lt{\delta}\)
Para \(|x-a|\gt{0}\) obtenemos \(x\gt{a}\) y \(x\lt{a}\), lo cual está representado por la unión de intervalos \((-\infty,a)\cup{}(a,+\infty)\). Sea \(I_1\) este intervalo.
Para \(-\delta\lt{x-a}\lt{}\delta\) obtenemos \(a-\delta\lt{}x\lt{}a+\delta\) que es el intervalo abierto representado por \(I_2=(a-\delta,a+\delta)\).
Tal intervalo abierto suele llamarse entorno, es decir, el conjunto de puntos que "distan a un máximo" \(\delta\) del punto \(a\), y que contienen a ese mismo punto. Un entorno suele denotarse \(N(a,\delta)\), en donde \(a\) representa el centro y \(\delta\) el radio. (En realidad la máxima distancia al punto \(a\) es infinitamente cercana a \(\delta\) pero nunca ella misma).
Para finalizar, recordemos que en nuestra definición se deben cumplir las dos condiciones referidas a los intervalos \(I_1\) e \(I_2\), por lo cual debemos tomar la intersección entre estos dos conjuntos de puntos; este conjunto suele denotarse como \(0\lt{|x-a|}\lt\delta\), o también \((a-\delta,a)\cup{(a,a+\delta)}\) y se denomina entorno reducido.
Nota: Las definiciones (1),(2) y (3) también cumplen el condicional \(\longleftarrow\)
Referencias
- Valor absoluto. (2015, 21 de agosto). Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 05:14, agosto 25, 2015 desde https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Valor_absoluto&oldid=84582163
- Límite matemático. (2015, 13 de agosto). Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 05:16, agosto 25, 2015 desde
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico&oldid=84407032
- Ayres, Frank (1991). Cálculo diferencial e integral 3ed. México: Mc Graw Hill
Para finalizar, recordemos que en nuestra definición se deben cumplir las dos condiciones referidas a los intervalos \(I_1\) e \(I_2\), por lo cual debemos tomar la intersección entre estos dos conjuntos de puntos; este conjunto suele denotarse como \(0\lt{|x-a|}\lt\delta\), o también \((a-\delta,a)\cup{(a,a+\delta)}\) y se denomina entorno reducido.
Nota: Las definiciones (1),(2) y (3) también cumplen el condicional \(\longleftarrow\)
Referencias
- Valor absoluto. (2015, 21 de agosto). Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 05:14, agosto 25, 2015 desde https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Valor_absoluto&oldid=84582163
- Límite matemático. (2015, 13 de agosto). Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 05:16, agosto 25, 2015 desde
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico&oldid=84407032
- Ayres, Frank (1991). Cálculo diferencial e integral 3ed. México: Mc Graw Hill
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